Наиболее значимые результаты

Научные исследования проводятся  в рамках научно–педагогической школы «Аналитические и численные методы решения уравнений математической физики»,  организованной на кафедре в 1983 г. Организатором и бессменным руководителем  школы является д.ф.м.н., профессор И.В. Бойков. Наиболее существенные результаты достигнуты в следующих направлениях:

1. Теория аппроксимации:
1) решена задача К. И. Бабенко о вычислении поперечников Бабенко и Колмогорова классов функций Qr,γ(G, M) и Br,γ(G, M) и построены оптимальные по порядку методы аппроксимации этих классов функций. Класс Qr,γ(G, M) состоит из функций, имеющих непрерывные производные до r-го порядка в области G и производные до s-го порядка (s = r+[γ]) в области G|Г, Г - граница области G, причем модули производных r + 1,…, s порядков растут как степенные функции от 1/d(x,Г), где d(x,Г) – расстояние от точки x до границы Г. Класс Br,γ(G, M) состоит из функций, имеющих непрерывные производные до r-го порядка в области G и бесконечно дифференцируемых в области G|Г, Г - граница области G, причем модули производных растут как степенные функции от 1/d(x,Г), где d(x,Г) – расстояние от точки x до границы Г. По мнению К.И. Бабенко задачи вычисления поперечников Бабенко и Колмогорова классов Qr,γ(G, M) и Br,γ(G, M), и построения оптимальных по порядку методов аппроксимации этих классов функций являются одними из важнейших в вычислительной математике;
2) вычислена энтропия классов функций Qr,γ(G, M) и Br,γ(G, M) и построены оптимальные методы восстановления функций из этих классов;
3) решена проблема Колмогорова о невозможности представления аналитических функций трех переменных суперпозициями непрерывно дифференцируемых функций двух переменных и аналитических функций двух переменных суперпозициями непрерывно дифференцируемых функций одной переменной и сложения;

4) решена задача Бабенко об асимптотике решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа.

2. Сингулярные интегральные уравнения.
Построены и обоснованы приближенные методы решения линейных и нелинейных сингулярных, полисингулярных и многомерных сингулярных интегральных уравнений, определенных на конечных и бесконечных областях. Рассмотрены открытые и замкнутые области определения. Обоснования проведены в пространствах гельдеровых функций и в пространствах функций, суммируемых в p-ой степени, 1<p≤∞ . Построены оптимальные по точности и сложности алгоритмы. Исследованы исключительные случаи.

3. Гиперсингулярные интегральные уравнения.
Построены и обоснованы приближенные методы решения широких классов гиперсингулярных и полигиперсингулярных интегральных уравнений на замкнутых контурах интегрирования. Исследованы вопросы разрешимости гиперсингулярных интегральных уравнений первого и второго родов. Построены алгоритмы решения сингулярных и гиперсингулярных уравнений в замкнутом виде. Для ряда отдельных классов гиперсингулярных, полигиперсингулярных и многомерных гиперсингулярных интегральных уравнений на разомкнутых областях интегрирования построены и обоснованы сплайн-коллокационные методы. Начато исследование решений сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений на фракталах.

4. Квадратурные формулы.
Предложен общий метод построения оптимальных, асимптотически оптимальных и оптимальных по порядку квадратурных и кубатурных формул вычисления интегралов с особенностями. На основе этого метода построены оптимальные, асимптотически оптимальные и оптимальные по порядку пассивные и адаптивные алгоритмы вычисления сингулярных, полисингулярных, многомерных сингулярных интегралов с фиксированными и переменными особенностями. Аналогичные результаты получены для гиперсингулярных, полигиперсингулярных и многомерных гиперсингулярных интегралов.

5. Динамические системы.
Предложен общий метод получения достаточных условий устойчивости установившихся решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрены системы обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздываниями, зависящими от времени. Решена проблема Брекетта и частично решена проблема Айзермана. Предложен общий метод исследования устойчивости систем линейных и нелинейных уравнений в частных производных (параболических и гиперболических).
Исследована устойчивость систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных с дробными производными. Исследована устойчивость по Тьюрингу.

6. Математические и численные методы решения прямых и обратных задач гравиразведки.
Построены оптимальные методы аппроксимации потенциальных полей в различных областях.
Построены оптимальные методы решения прямых задач гравиразведки.
Построены оптимальные методы трансформации потенциальных полей.
Предложены и обоснованы итерационные и сплайн-итерационные методы решения обратных задач гравиразведки.
Сформулирована обобщенная обратная задача гравиразведки: по имеющимся данным тензорной гравиметрии построить алгоритмы одновременного определения плотности возмущающегося тела, уравнений его поверхностей и глубины замечания. Построены алгоритмы решения этой проблемы.

7. Идентификация динамических систем.
Предложены и обоснованы методы параметрической идентификации динамических систем с сосредоточенными и распределенными параметрами. Динамические системы описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, уравнениями в частных производных, интегральными уравнениями Фредгольма и Вольтерра. Исследуется эредитарная проблема. Предложены, на базе рядов Вольтерра, методы идентификации динамических систем типа «черный ящик». Для широкого класса динамических систем разработаны методы восстановления входных сигналов. Разработаны аппаратные и алгоритмические методы восстановления.
Даны приложения полученных теоретических результатов к исследованию конкретных информационных и измерительных систем.

8. Математические модели экологии и биологии.
Построены математические модели иммунных реакций на различные внешние воздействия. Исследована устойчивость математических моделей иммунологии с параметрами, зависящими от времени и от состояния организма. Исследовано влияние различных терапий на протекание иммунных процессов.

 

По результатам исследований защищено 17 кандидатских диссертаций (руководитель д.ф.-м.н., профессор И.В. Бойков):

Викулов М.А. –Численное моделирование нелинейных диссипативных процессов. Специальность 05.13.18. Дата защиты 31.05.2007.

Добрынина Н. Ф. – Оптимальные методы вычисления интегралов Адамара. Специальность 01.01.07, Дата защиты 1990

Захарова Ю.Ф. –Оптимальные методы вычисления многомерных сингулярных интегралов и решения сингулярных интегральных уравнений.  Специальность 05.13.18, Дата защиты 08.09.2004.

Калашников Д.М. -- «Биометрическая голосовая идентификация человека по парольной голосовой фразе в условиях повышенного шума», представленной на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в технике и технологиях) 20 апреля 2017 г.

Кривулин Н. П. – Методы идентификации динамических систем с распределенным параметром. Специальность 05.13.16. Дата защиты 25.12.2000.

Кудряшова Н. Ю. – Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений в исключительных случаях. Специальность 01.01.07 . Дата защиты 25.12.2000.

Кучумов Е.В. – Численное моделирование прямых и обратных задач геофизики на искусственных нейронных сетях. Специальность 05.13.18.    Дата защиты  28.06.2011.

Мойко Н.В. –Применение уравнений в свертках к решению обратных задач гравиметрии и идентификации динамических систем. Специальность 05.13.18  Дата защиты 12.10.2006.

Нагаева С.Я. – Оптимальные кубатурные формулы вычисления сингулярных интегралов. Специальность 01.01.07. Дата защиты     2000.

Полякова Т. И. – Оптимальные методы вычисления интегралов Пуассона, типа Коши, Шварца и их применение к решению интегральных уравнений. Специальность 01.01.07 . Дата защиты 03.07.1998.

Романова Е.Г. – Численное моделирование задач электродинамики и электродинамики сингулярными интегральными уравнениями.    Специальность 05.13.18.   Дата защиты    31.05.2007.

Рязанцев В.А.- Модели и алгоритмы решения прямых и обратных задач гравиразведки» по специальности 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. Дата защиты    01.10.2015.

Тында А. Н. –Оптимальные методы решения интегральных уравнений Вольтерра и их приложения. Специальность 05.13.18, Дата защиты 08.09.2004.

Тарасов Д.В. –Численное исследование моделей электрических вибраторов, описываемых гиперсингулярными интегральными уравнениями Специальность 05.13.18 Дата защиты 21.01. 2010.

Филиппов А.В. – Численное моделирование задач электродинамики и гравиразведки на основе интегральных представлений Коши и Стрэттона–Чу. Специальность 20.02.2008. Дата защиты 05.13.18.

Черушева Т.В. – Методы определения динамических характеристик. Специальность 05.11.05 . Дата защиты 25.09.1997.

 

 

Дата создания: 19.05.2017 10:34
Дата обновления: 31.05.2019 09:09